Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, ejercicios resueltos.



 VALOR ABSOLUTO EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.


Recordemos que dados dos puntos x1 y x2 en una recta numérica, la distancia entre los dos se define como:

Lo cual se lee, valor absoluto de la diferencia entre x1 y x2

Su representación en la recta numérica es:
    

El valor absoluto se define como:




Viéndolo de otra manera, el valor absoluto de un número es la distancia del número a 0
Por ejemplo, la distancia de 5 a 0, es 5 , por otra parte la distancia de -5 a cero es 5, por lo tanto:
                                                        |-5|= | 5 | = 5


De esta manera podemos decir que siempre se cumple que:
                         | x |= | -x | = x     para todo x que sea un número Real.

Ejemplo 1:  

Calcula:
          i. |3|
          ii. |-8|
          iii. | a+1|
Solución 1:
          i. | 3 | = 3, ya que la distancia desde 0 hasta 3 es 3.
         ii. |-8| = 8, ya que la distancia desde 0 hasta - 8 es 8.
        iii. Para solucionar a+1, debemos tener en cuenta el signo de a + 1.
             Por definición:
             |a +1| = 0, si a + 1 = 0, es decir, si a = - 1
             |a +1| = a + 1, si a + 1 > 0, es decir, si a > - 1
             |a +1| = - (a + 1), si a + 1 < 0, es decir, si a < - 1

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO:

1. | x | ≥  0
2. | x | ≥  0 si y solo si x = 0
3. | -x | = | x |
4.  | x  y | =  | x |  | y |
5. 
6.| x | ≤ a    si y sólo si –a  x  a, para a > 0.
7.| x |  a si y sólo si x  –a x  a, para a ∈ R.

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.


Determinemos los valores de x que satisfacen la ecuación:

|2x - 3| = 6
Por la propiedad 3, sabemos que para que el valor absoluto de un número sea 6, este número debe ser 6 ó -6.
Por tanto se cumple que:

2x - 3 = 6        o      2x - 3 = -6
Resolviendo cada ecuación, tenemos que:

       2x - 3 = 6
       2x - 3 = 6              Sumamos 3 en ambos miembros
  2x -3 + 3 = 6 + 3       Resolvemos
            2x = 9                  
         2x/2 = 9/2           Para despejar a x dividimos entre 2 en ambos miembros
              x = 9/2

       2x - 3 = -6
 2x - 3 +3  = -6 +3       Sumamos 3 en ambos miembros
            2x =  -3            Resolvemos
          2x/2= -3/2          Para despejar a x dividimos entre 2 en ambos miembros
              x = -3/2          Encontramos la solución

El conjunto solución es: 
 

Ejemplo 2. Ecuaciones con valor absoluto


¿Cuál es el valor de x si |2x - 5| = 4?

Solución:
Tenemos que el valor absoluto de -4 es igual al valor absoluto de 4 por tanto

Se cumple que: 2x - 5 = 4 o 2x - 5 = - 4
Resolvemos estas ecuaciones:

Ejemplo 3. Ecuaciones con valor absoluto


Solución:

|x +1| = |x +2|

Observemos la ecuación, podemos dividir entre |x +2| en ambos miembros así:

Llegados a esta igualdad podemos afirmar por la propiedad 3 dos ramas de solución: 

Rama 1:

Descartamos.





ó

Rama 2:

PRACTICA LO APRENDIDO


1. Encuentra el conjunto solución de las ecuaciones siguientes:
a. |4x - 5| = 3
b. |x + 6| = 2
c. |3x - 4| = |2x +1|

Espero que los contenidos le sean provechosos para comprender las propiedades del valor absoluto y como resolver ecuaciones lineales aplicándolas. En próximos post estaremos hablando de inecuaciones de con valor absoluto y más, compártenos en las redes sociales, deja tus comentarios, tenemos mucho más, solicítalo.

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