Ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto, ejercicios resueltos.

VALOR ABSOLUTO EN EL CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES.

Recordemos que dados dos puntos x1 y x2 en una recta numérica, la distancia entre los dos se define como:

Lo cual se lee, valor absoluto de la diferencia entre x1 y x2

Su representación en la recta numérica es:

El valor absoluto se define como:

Viéndolo de otra manera, el valor absoluto de un número es la distancia del número a 0

Por ejemplo, la distancia de 5 a 0, es 5 , por otra parte la distancia de -5 a cero es 5, por lo tanto:

|-5|= | 5 | = 5

De esta manera podemos decir que siempre se cumple que:

| x |= | -x | = x para todo x que sea un número Real.

Ejemplo 1:

Calcula:

i. |3|

ii. |-8|

iii. | a+1|

Solución 1:

i. | 3 | = 3, ya que la distancia desde 0 hasta 3 es 3.

ii. |-8| = 8, ya que la distancia desde 0 hasta - 8 es 8.

iii. Para solucionar a+1, debemos tener en cuenta el signo de a + 1.

Por definición:

|a +1| = 0, si a + 1 = 0, es decir, si a = - 1

|a +1| = a + 1, si a + 1 > 0, es decir, si a > - 1

|a +1| = - (a + 1), si a + 1 < 0, es decir, si a < - 1

PROPIEDADES DEL VALOR ABSOLUTO:

1. | x | ≥  0
2. | x | ≥  0 si y solo si x = 0
3. | -x | = | x |
4.  | x y | = | x | | y |
5.
6.| x | ≤ a si y sólo si –a ≤ x ≤ a, para a > 0.
7.| x | ≥ a si y sólo si x ≥ –a x ≥ a, para a ∈ R.

ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO.

Determinemos los valores de x que satisfacen la ecuación:

|2x - 3| = 6

Por la propiedad 3, sabemos que para que el valor absoluto de un número sea 6, este número debe ser 6 ó -6.

Por tanto se cumple que:

2x - 3 = 6 o 2x - 3 = -6

Resolviendo cada ecuación, tenemos que:

2x - 3 = 6

2x - 3 = 6 Sumamos 3 en ambos miembros

2x -3 + 3 = 6 + 3 Resolvemos

2x = 9

2x/2 = 9/2 Para despejar a x dividimos entre 2 en ambos miembros

x = 9/2

2x - 3 = -6

2x - 3 +3 = -6 +3 Sumamos 3 en ambos miembros

2x = -3 Resolvemos

2x/2= -3/2 Para despejar a x dividimos entre 2 en ambos miembros

x = -3/2 Encontramos la solución

El conjunto solución es:

Ejemplo 2. Ecuaciones con valor absoluto

¿Cuál es el valor de x si |2x - 5| = 4?

Solución:

Tenemos que el valor absoluto de -4 es igual al valor absoluto de 4 por tanto

Se cumple que: 2x - 5 = 4 o 2x - 5 = - 4

Resolvemos estas ecuaciones:

Ejemplo 3. Ecuaciones con valor absoluto

Solución:

|x +1| = |x +2|

Observemos la ecuación, podemos dividir entre |x +2| en ambos miembros así:

Llegados a esta igualdad podemos afirmar por la propiedad 3 dos ramas de solución:

Rama 1:

Descartamos.

ó

Rama 2:

PRACTICA LO APRENDIDO

1. Encuentra el conjunto solución de las ecuaciones siguientes:

a. |4x - 5| = 3

b. |x + 6| = 2

c. |3x - 4| = |2x +1|

Espero que los contenidos le sean provechosos para comprender las propiedades del valor absoluto y como resolver ecuaciones lineales aplicándolas. En próximos post estaremos hablando de inecuaciones de con valor absoluto y más, compártenos en las redes sociales, deja tus comentarios, tenemos mucho más, solicítalo.