Resolviendo ejercicios con coordenadas polares

En un sistema de coordenadas rectangulares o cartesianas se puede localizar un punto con una sola pareja de puntos (x,y) estos valores son las distancias dirigidas, partiendo del origen, desde los ejes X e Y respectivamente. El origen es el punto donde se intersecan los dos ejes coordenados (Origen de coordenadas: punto O).
Otra forma de representar puntos en el plano es empleando las coordenadas polares, en este sistema se necesitan un ángulo (θ) y una distancia (r). Para medir θ (Theta), en radianes, necesitamos una semirrecta dirigida llamada eje polar y para medir r, un punto fijo llamado polo.



Como se aprecia al Eje polar también se nombra Rayo inicial, al punto P por lo tanto corresponden dos coordenadas r (radio) y θ (ángulo), denotando la coodenadas del punto P(r, θ).

El eje o rayo que pasa por el punto P y parte desde el Polo (O) se conoce como Rayo θ, (rayo final del ángulo)



LOCALIZACIÓN DE UN PUNTO EN EL SISTEMA COORDENADAS POLARES:


Si queremos localizar un punto (r,θ) en este sistema de coordenadas, lo primero que debemos hacer es trazar una circunferencia de radio r, después trazar una línea con un ángulo de inclinación θ y, por último, localizamos el punto de intersección entre la circunferencia y la recta; este punto será el que queríamos localizar.

Hay que tener en cuenta que:

Si el radio es positivo el punto se localiza en el rayo terminal que trazamos, sin embargo si el radio es negativo es necesario prologar el rayo trazado hacia el otro extremo del polo y allí ubicamos el punto.

A continuación localizamos dos puntos en el plano polar .
En el primero r es positivo



En el primero r es negativo

En estos dos ejemplos tuvimos en cuenta dos ángulos positivos (el ángulo de midió en sentido anti-horario a partir del eje polar), para el caso de que θ sea un ángulo negativo entonces debemos trazar el ángulo en sentido horario (a favor de las manecillas del reloj).

El siguiente video resume claramente la definición de coordenada polar y muestra unos ejemplos donde se grafican 4 puntos polares diferentes, con r positivo y negativo, y con θ positivo y negativo. 

Video coordenadas polares

Comprendiendo dominio y rango de una funcion racional sencilla

En este video nos explican como podemos determinar el Dominio y el Rango de una función Racional, en este caso la función



Las ecuaciones mas hermosas de la historia



En esta publicación posteamos link a un artículo de BBC muy interesante para nuestros estudiantes que les invito a leer.

Cito a la publicación: "Las ecuaciones matemáticas representan algunas de las leyes más complejas que gobiernan el Universo y todo lo que hay en ello. Se necesita años de experiencia para entender las ecuaciones más profundas y muchas de ellas son tan complejas que son difíciles de traducir a un lenguaje normal. Sin embargo, esto no significa que no podamos apreciar su belleza. BBC Earth les preguntó a matemáticos y físicos por las ecuaciones que ellos piensan son las más bonitas."

Aquí te presentamos las 12 que los expertos prefieren.

Taller de Estadística para recuperación extra clases 9 grado 2016

En este post el taller para la recuperación de el tema de estadística visto en clases en el segundo período en el grupo 9-C, esperemos que todos trabajen y desarrollen esas competencias con calidad y entusiasmo.



Link para descarga del PDF


La importancia de las matemáticas


Galileo, en su libro El ensayador argumentó: "... está escrita en ese grandísimo libro de la naturaleza que continuamente está abierto a los ojos (me refiero al universo), pero no se puede entender si antes no se aprende a entender la lengua, y conocer los caracteres en los que está escrito. Este libro está escrito en lengua matemática, y los caracteres son triángulos, círculos, y otras figuras geométricas, sin las cuales es imposible entender ni una palabra; sin ellos es como girar vanamente en un oscuro laberinto"

Muchos estudiantes siempre preguntan ¿Para que me sirven las matemáticas?, ¿Que objeto tiene que me preocupe por una asignatura como ésta, que solo me da dolores de cabeza?

Nunca estamos lo suficientemente preparados para responder esta pregunta, podemos argumentar que la evolución de la revolución industrial propició un cambio radical en el desarrollo de las fuerzas productivas que trajo como consecuencia la vida pos-moderna, sustentada por el desarrollo acelerado de las ciencias, entre ellas la matemática; en realidad es más que eso, las matemáticas constituyen una asignatura básica y fundamental en el desarrollo del aprendizaje en todos los niveles de enseñanza.

Las matemáticas están presentes en todos los campos del saber, es difícil imaginar uno que no esté relacionado en esta larga lista. se emplean, por ejemplo en las ciencias “duras” como la biología, la química y la física; en las ciencias “blandas” como la economía, la psicología y la sociología; en todas las ingenierías como es el caso de la mecánica, la civil o la arquitectura; en el sector tecnológico son una clave importante para programar dispositivos móviles o computadoras, así como para las telecomunicaciones, que mueven prácticamente toda la vida moderna; finalmente se relacionan con el mundo de las artes como en el caso de la escultura, la música y la pintura.


Las matemáticas tienen un roll preponderante en la formación profesional de cualquier individuo, desde que comenzamos a estudiar en la escuela nuestra mayor pasión o peor aliado suelen ser a menudo las matemáticas, en realidad muchas veces los profesores no sabemos inducir quizás con suficiente eficacia el estudio de esta disciplina. El objetivo de las matemáticas como asignatura es desarrollar un pensamiento matemático en el individuo que le permita asimilar los conceptos, técnicas y algoritmos vigentes en cada momento histórico.


A diferencia de lo que muchos creen, todas las personas contamos con la posibilidad de desarrollar el pensamiento matemático, y las capacidades resultantes dependen del grado de estimulación que cada una reciba. La inteligencia se puede y se debe entrenar; sólo a través de un esfuerzo constante y de mucha determinación es posible obtener resultados importantes.



Entre los beneficios que otorga el pensamiento matemático se encuentran:
  • Promueve la capacidad de resolver problemas en diversos ámbitos de la vida a través de la formulación de hipótesis y de la elaboración de predicciones;
  • Incentiva el razonamiento acerca de los objetivos y los métodos a seguir para alcanzarlos;
  • Permite relacionar conceptos que, en apariencia, se encuentran distantes entre sí, lo cual abre las puertas a un entendimiento más profundo;
  • Despierta la necesidad de ordenar y analizar los actos y las decisiones que se realizan a diario, mejorando el rendimiento general.
Las matemáticas han pasado por un proceso evolutivo hasta lo que son hoy, no sólo son números, muchas veces se tiene un concepto errado sobre esto y muchas personas piensan equivocadamente, "los números no es lo mio", haciendo rechazo total a la disciplina y desconociendo que en realidad hay mucho más detrás de esas 11 letras, "las matemáticas son las ciencias de las estructuras", y finalmente, para responder la pregunta que siempre hacen los estudiantes, que son las matemáticas, como dice Kein Devlin en su libro "las matemáticas son lo que hacen visible lo invisible", lo que permiten otras ciencias encontrar una respuesta coherente sobre el universo y transformarlo en el beneficio de la humanidad.

Te invito a leer, el libro de Kein Devlin, El lenguaje de las matemáticas, en este link. Espero que sea para cambiar la percepción un tanto distorsionada de esta ciencia pura que traduce lo desconocido en un lenguaje que, con interés y dedicación, se puede llegar a comprender a cabalidad.

El fabuloso tema de las sucesiones matemáticas

Las sucesiones en matemáticas es un tema que a primera vista puede parecer aburrido para los estudiantes, pero en la medida que avancemos en el tema y descubramos cuan disímil y divertido se puede convertir cambiaremos totalmente la opinión que al principio habíamos formulado.

Fuente de la imagen: http://www.makeuseof.com/tag/golden-ratio-photography/

Podemos introducir el tema con esta historia que trata precisamente de una sucesión:

Cuenta una vieja leyenda que el inventor del ajedrez presentó su creación a un príncipe de la India. El príncipe quedó tan impresionado que quiso premiarle generosamente, para lo cual le dijo: "Pídeme lo que quieras, que te lo daré". El inventor del ajedrez formuló su petición del modo siguiente: "Deseo que me entregues un grano de trigo por la primera casilla del tablero, dos por la segunda, cuatro por la tercera, ocho por la cuarta, dieciséis por la quinta, y así sucesivamente hasta la casilla 64". La sorpresa fue cuando el secretario del príncipe calculó la cantidad de trigo que representaba la petición del inventor, porque toda la Tierra sembrada de trigo era insuficiente para obtener el trigo que pedía el inventor. 

¿Cuántos trillones de granos de trigo pedía aproximadamente?

Historias como estas pueden venir a tu imaginación y te las puedes inventar, a partir de una suseción númerica, escribirlas es algo para aquellos que les guste trasmitir el conocimiento y destapar la imaginación.

Por eso te presentamos las dos tareas que proponemos para los estudiantes de 11 grado en el segundo periodo:

Mini Trabajo Investigativo 1:



Realice un trabajo investigativo cuyo eje central sea la Sucesión de Fibonacci.

Te puedes apoyar en el siguiente orden de ideas para realizarlo:
  • Quien descubrió la sucesión.
  • Que implicaciones ha producido esta en los campos del saber.
  • Que es mito y verdad sobre la sucesión de Fibonacci.
  • Cual es la representación matemática de la sucesión.
  • Conclusiones.
  • Bibliografía.
Mini Trabajo Investigativo Opción 2:

Realice un trabajo investigativo cuyo eje central sea la Sucesión de Goodstein, son una serie de suseciones basadas en el teorema del mismo nombre.
Te puedes apoyar en el siguiente guión para realizarlo:
  • Que es la sucesión de Goodstein.
  • Que dice el teorema de  Goodstein.
  • Cual es la representación matemática de la sucesión.
  • Muestre un ejemplo de la sucesión.
  • Conclusiones.
  • Bibliografía.

Se debe redactar el trabajo digitalmente, no es necesario entregarlo en soporte físico (impreso), te puedes auxiliar de imágenes que reafirmen el contenido, videos y medios audiovisuales.

Los mejores trabajos serán publicados en el Blog.

Ánimo estudiantes ustedes pueden hacerlo con calidad si prima el interés investigativo.

Un par de links si quieres aprender mas sobre susesiones:

http://anjaander.blogspot.com.co/2008/01/sucesiones-matemticas.html

http://oeis.org/

Taller para resolución de triángulos rectángulos y desarrollo para pruebas icfes - 10grado

Queridos estudiantes en esta entrada les dejo el taller del que hablábamos en clases, donde se persiguen las competencias:
- Crear habilidades para la resolución de triángulos rectángulos aplicando las principales razones trigonométricas.
- Aplicación de la trigonometría en la resolución de problemas sencillos a aplicando la metodología de las pruebas ICFES 2016.

Espero que les sea de utilidad para descargar desde casa y poder trabajarlo con toda comodidad.


Si lo prefieren: Link para descargar archivo PDF con el taller
Clave de cifrado: !fIW4aKF_7t6F1Z-zoLhsZEPCqqHbojROL9FQ_coRq9o

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